생산함수

1. 생산함수

기업은 자본, 기술, 인재, 원자재 등의 생산요소를 써서 생산활동을 하는 경제주체입니다. 이는 곧, 기업은 그 투입물의 종류와 양에 따라 생산량을 결정하게 된다는 뜻입니다. 이 관계를 수학적으로 단순화시킨 것이 바로 '생산함수'이죠. 다시 정리하면, 생산함수(生產函數, production function)는 '생산물'의 최대가능한 산출량을 생산요소의 투입량에 대응해 표시한 함수를 말합니다. 이제 이를 수학적으로 어떻게 표현하는지 살펴봅시다!
 

2. 수학적으로 표현한 생산함수

2-1. 수학적으로 표현한 생산함수

 생산량 Y를 (n종류의) 생산요소의 투입량 x1, x2, x3,..., xn)의 갯수로 표시하면 아래와 같이 나옵니다.

위와 같은 형태는 사실 생산함수를 엄청 단순화시킨 형태입니다. 이런 경우, 보통 생산요소를 1종류만(노동(L)) 보거나, 2종류(노동(L), 자본(K))로 보고 계산하죠. 좀 더 복잡하게 들어간다면, 기술(A), 감가상각 등 다양한 생산요소를 넣어서 계산할 수 있습니다.
 

2-2. 생산함수의 예시

2-2-1. 콥-더글라스 생산함수(Cobb–Douglas production function)

그 유명한 콥-더글라스 생산함수는 1928년 경제학자 찰스 콥(Charles Cobb, 1875~1949)과 폴 더글라스(Paul Douglas, 1892~1976)이 고안한 1차 동차함수(homogeneous function)형 생산함수입니다.
 
여기서 A는 기술진보 등으로 변화하는 상수 혹은 스케일 계수(어떤 양을 늘리거나 줄이거나 곱하는 수)이며, α(0<α<1)는 노동분배율, β(0<β<1)는 자본분배율을 말합니다. 재밌는 사실은 이 콥-더글라스의 대체탄력성은 항상 1입니다. 사실 이 생산함수는 아래 소개할 CES 생산함수의 한 형태죠~
 

2-2-2. CES 생산함수(고정대체탄력성 생산함수, Constant elasticity of substitution production function)

CES 생산함수는 1961년 경제학자 로버트 솔로(Robert Solow, 1924~2023), 바기차 싱 민하스(Bagicha Singh Minhas, 1929~2005), 케네스 애로(Kenneth Arrow, 1921~2017), 홀리스 체너리(Hollis Chenery, 1918~1994)가 고안한 대체탄력성이 1은 아니지만 생산규모에 상관없이 항상 대체탄력성이 어떤 일정한 값으로 고정되는 일반적인 대체관계를 나타내는 생산함수입니다.
 
여기서 γ(γ>0)는 효율성 매개변수 또는 스케일 계수, ρ(-1<p<∞, p≠0) 는 대체성 매개변수, δ(0<δ<1) 는 분배 매개변수, μ는 규모의 경제성 매개변수를 말합니다.
 

3. 생산함수의 한계생산력

한계생산력(Marginal product, MP)은 다른 모든 생산요소 투입량을 일정하게 유지한 상태에서 1종류의 생산요소 투입량을 1단위만 늘렸을 때의 생산량 Y의 변화를 말합니다. 생산량 Y를 어떤 생산요소 i로 편미분하면 위 그림처럼 i에 대한 한계생산력(MPi)을 계산할 수 있습니다.
 

3. 생산함수의 성질 2가지(가정)

3-1. 어떤 한 종류의 생산요소 xi의 투입량을 늘리면 생산량도 증가한다.

 

3-2. 수확체감의 법칙(한계생산체감의 법칙)이 성립된다.

이 말은 생산량의 증가량은 결국 서서히 작아진다는 뜻입니다.
생산함수는 위에 소개한 2가지 성질은 충족한다고 가정됩니다.
 

4. 생산함수에서의 파생개념

4-1. 규모에 대한 수확

모든 생산요소 투입량을 동일한 비율(k배)로 증가시킬 때 생산량 Y의 증가량이 그에 비례하는지 여부에서 아래와 같이 세 가지 경우로 나눌 수 있습니다.
 

4-1-1. 규모에 대한 수확 일정

앞서 소개한 콥-더글라스 생산함수의 경우, 규모에 대한 수확 일정일 때는 분배율 α, β에 대해 α+β=1입니다.

 

4-1-2. 규모에 대한 수확 체증((좁은 의미에서의) 규모의 경제)

앞서 소개한 콥-더글라스 생산함수의 경우, 규모에 대한 수확 일정일 때는 분배율 α, β에 대해 α+β>1입니다.

 

4-1-3. 규모에 대한 수확 체감((좁은 의미에서의) 규모의 불경제)

앞서 소개한 콥-더글라스 생산함수의 경우, 규모에 대한 수확 일정일 때는 분배율 α, β에 대해 α+β<1입니다.
 
위와 관련된 자세한 내용은 이 글(https://mspproject2023.tistory.com/2228)을 참고바랍니다!

규모에 대한 수확(규모에 대한 수익)

 

4-2. 등량곡선(등생산량곡선)

생산함수에서의 등량곡선은 생산함수의 등치선을 말합니다. 참고로 생산요소가 2종류인 경우, 보통 초곡면(hypersurface, 3차원 공간 속의 곡면을 일반화하여 얻는 개념)이 됩니다.

 

이 등량곡선은 위의 공식처럼 우하향하게 되며, 그 외 원점을 향해 볼록(convex)한 형태의 함수로 나타납니다.